Vektorintegrasie met toepassings op stogastiese prosesse in Riesz ruimtes

Abstract

Daar is al 'n verskeidenheid van teorieë ontwikkel om die abstrakte Lebesgue integraal te veralgemeen vir funksies of mate wat vektorwaardig is. Ons bestudeer drie van die mees suksesvolle integrasie teorieë, die van Bochner, Bartle en Dobrakov, op 'n eenvormige wyse. Die verskillende integrale word met mekaar vergelyk en ons gebruik die Dobrakov integraal om 'n stogastiese integraal in 'n Riesz ruimte te definieer. In hoofstuk 1 definieer en bestudeer ons vektorwaardige mate. Hier neem mate hul waardes in 'n Banach ruimte aan. Nie alleen word vektorintegrale ten opsigte van vektormate gedefinieer nie, maar ons kan bewys dat die integrale self ook vektormate is. Die resultate wat ons in hierdie hoofstuk aflei stel ons in staat om konklusies oor vektorintegrale te maak. So sien ons byvoorbeeld in gevolg 1.5.14 op p.54 dat as 'n ry van σ-additiewe vektormate op 'n σ-algebra gelykmatig konvergeer, dan is die limiet weer 'n σ-additiewe vektormaat. Hierdie resultaat is belangrik vir die teorie van die Dobrakov integraal. Hoofstuk 2 is 'n uitbreiding van hoofstuk 1 en daarin kyk ons na mate wat hul waardes in 'n ruimte van begrensde lineêre operatore tussen Banach ruimtes aanneem. Hierdie ruimte is natuurlik ook self 'n Banach ruimte, maar hier werk ons met die konvergensie van rye in die sterk operator topologie instede van die norm topologie. Die gevolg is dat σ-additiwiteit 'n verskillende betekenis het vir operatormate as vir vektormate. Geassosieer met 'n vektormaat of operatormaat is daar die bykomende begrippe van die variasie, skalaarsemivariasie en semivariasie van die maat. Hierdie versamelingsfunksies is almal submate. In hoofstuk 3 kyk ons eerstens na die verskillende maniere waarop 'n ry funksies ten opsigte van 'n submaat kan konvergeer. Tweedens kyk ons na verskillende tipes trapfunksies. Rye van hierdie verskillende tipes trapfunksies kan dan op een van die verskillende wyses na 'n funksie konvergeer. So 'n limietfunksie word gedefinieer as 'n meetbare funksie. Afhangende van die aard van die trapfunksies en die aard van konvergensie kan verskillende meetbare funksies sekere verhoudings met mekaar hê. Die hoofdoel van hoofstuk 3 is dan om hierdie verhoudings te ondersoek. Ons ondersoek ook onder watter voorwaardes 'n funksie meetbaar is. Een van die resultate wat uit hierdie afdeling volg is stelling 3.2.22 op p.84, 'n meer algemene weergawe van Pettis se meetbaarheidstelling (stelling 4.1.5 op p.89). In hoofstuk 3 het ons klasse van meetbare funksies gekry waarvoor ons verskillende vektorintegrale kan definieer. In hoofstukke 4, 5 en 6 bestudeer ons die integrasieteorieë van Bochner, Bartle en Dobrakov. Die Bochner integraal word vir meetbare vektorwaardige funksies met betrekking tot 'n skalaarmaat gedefinieer. Ons sien dat baie van die eienskappe van die abstrakte Lebesgue integraal ook oordra na die Bochner integraal. So kry ons byvoorbeeld 'n gedomineerde konvergensiestelling vir die Bochner integraal. Vir die geval waar ons 'n eindige maat het, gebruik ons Hille se stelling (stelling 4.2.9 op p.99) om 'n weergawe van die middelwaarde stelling vir die Bochner integraal af te lei. Om die integraal vir vektorwaardige funksies ten opsigte van 'n vektorwaardige maat te definieer is dit nodig dat daar een of ander produk op die twee vektorruimtes bestaan. Bartle beskou die geval waar daar 'n bilineêre afbeelding tussen Banach ruimtes bestaan. In hoofstuk 5 definieer ons dan die Bartle integraal vir funksies wat hul waardes in die eerste Banach ruimte aanneem ten opsigte van 'n maat wat sy waardes in die tweede Banach ruimte aanneem. Alhoewel Lebesgue se konvergensiestelling nie vir die Bartle integraal geld nie, kan ons Vitali se stelling (stelling 5.2.10 op p.113) gebruik om 'n tipe begrensde konvergensiestelling (stelling 5.2.14 op p.115) af te lei. Die bilineêre afbeelding van Bartle definieer begrensde lineêre operatore op Banach ruimtes. Enige van die vektormate waarmee Bartle werk is dus ook 'n operatormaat. Die σ-additiwiteit van 'n operatormaat is egter 'n meer algemene konsep as die σ-additiwiteit van 'n vektormaat. In hoofstuk 6 ondersoek ons die Dobrakov integraal. Dobrakov ontwikkel sy integrasieteorie vir vektorwaardige funksies met betrekking tot 'n σ-additiewe operatormaat. Een van die mooi resultate wat ons vir die Dobrakov integraal kry, is 'n stelling oor die omruil van die integraal en die limiet (stelling 6.3.14 op p.146). Vir al drie integrasieteorieë wat ons bestudeer word 'n integreerbare funksie gedefinieer as 'n meetbare funksie wat aan sekere voorwaardes voldoen. In hoofstuk 7 gebruik ons die resultate wat ons in hoofstuk 3 gekry het om die klasse van integreerbare funksies vir die verskillende vektorintegrale te vergelyk. Al drie integrale veralgemeen die Lebesgue integraal. Verder sluit die Dobrakov integraal die Bochner integraal en die σ-additiewe geval van die Bartle integraal in. In die belangrike geval waar die semivariasie van 'n σ-additiewe operatormaat, eindig en kontinu is, stem die Bartle en Dobrakov integrale presies ooreen. Die studie van stogastiese prossese in Riesz ruimtes benodig 'n integraal waar die integrand 'n stogastiese proses is, en die maat gelewer word deur 'n stygende stogastiese proses. Beide die integrand en die maat is dus vektorwaardig. In hoofstuk 8 gebruik ons die teorie van Dobrakov om so 'n integraal te definieer.